Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Enligt det du skrev innan:

så vet du redan att 4n² + 4n + 1 = (2 (n + 1) − 1)², vilket gör att du nu kan likställa vänster- och högerleden i det uttryck du vill visa.

Man hade också kunnat identifiera detta utan att behöva utveckla i vänsterledet genom att gå "baklänges" via resten i högerledet enligt:
   4n² + 4n + 1 = [kvadreringsregeln] = (2n + 1)² = (2 (n + 1) − 1)²

Skriv ner en ren fullständig lösning av det du gjort så att du känner att du förstår tankegången. Dessa uppgifter är ofta rätt lika på många sätt, men de kräver att polletten trillar ner gällande vad poängen med induktionsbevis är.

Enklast är att kunna sina potenslagar, som bygger på vad "upphöjt till" egentligen betyder.

Ett alternativt sätt att illustrera det är att utveckla potenserna:
   (3²)⁴ ⋅ 3 ∕ 3⁵
      = (3 ⋅ 3)⁴ ⋅ 3 ∕ 3⁵
      = (3 ⋅ 3) (3 ⋅ 3) (3 ⋅ 3) (3 ⋅ 3) ⋅ 3 ∕ 3⁵
      = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ∕ (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3)
      = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ∕ (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3)
      = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
      = 81

Anledningen att vi en gång för alla visar generella regler för potenser är dock för att slippa liknande övningar framöver (hade varit ännu jobbigare om det t ex handlat om 3⁵⁰⁰…), så här resonerar man enklast enligt:
   (3²)⁴ ⋅ 3 ∕ 3⁵
      = 3^(2 ⋅ 4) ⋅ 3 ∕ 3⁵ = 3⁸ ⋅ 3 ∕ 3⁵
      = 3⁸⁺¹ ∕ 3⁵ = 3⁹ ∕ 3⁵
      = 3⁹⁻⁵ = 3⁴
      = 81
Nästan överdrivet utförligt skrivet, men notera hur varje ny rad använder en potensregel. I praktiken ser man svaret direkt med huvudräkning, om man har reglerna klara för sig.

Regeln du felar på gissar jag är att (aᵇ)ᶜ = aᵇ ᶜ, där du felaktigt tänker (aᵇ)ᶜ = aᵇ⁺ᶜ. Addition av potenser sker vid multiplikation av tal, men multiplikation av potenser sker vid upphöjning av tal, så att säga. Ett sätt att inse detta är att just skriva ut det så övertydligt som i första räkneexemplet ovan.

Jag misstänker att jag någonstans mitt i allt detta har tänkt fel. Har jag tänkt rätt på 1a)? Eller är såväl 1a) som 1b) helt fel?

Menar du specifikt den 5-e raden?

5. ((¬p ∧ r) → is false, which gives us an contradiction.

Jag vet själv lite osäker på huruvida detta skall vara med eller ej, har utgått ifrån ett formelblad i logik och lite föreläsningsanteckningar primärt. Därför kan vissa saker som inte skall vara där ha smugit sig in, och saker som bör vara där inte finns där riktigt ännu.

Fick följande svar på vad som skall kompletteras:

- Antagande saknas. (vad är det för typ av antagande jag gör? Att s inte stämmer är väl antagandet man utgår ifrån, eller resonerar jag fel?)
- Siffrorna under uttryck hänger inte ihop med dina nummer på texten under. (medveten om denna, skall ändras omgående)
- Ej klart varför punkt 5 och vad som är motsägelsen. (som du ser Elgot så är det fler som anmärkt på detta. Jag antar att denna rad skall tas bort helt? )
- Slutsats (vad motsägs egentligen?)

Använder den föredragna terminologin där vi inför en ny variabel för teststegen.

Vill visa:
   2ⁿ > n³, n ≥ 10, n ∈ ℤ

Testar för n = 10:
   2¹⁰ = 1024 > 10³ = 1000   OK!

Anta nu att påståendet stämmer för något n = k, k≥ 10, k ∈ ℤ. Vill visa att det även gäller för k + 1.
   2ᵏ⁺¹ = 2 ⋅ 2ᵏ   — denna omskrivning kan vi ha i tanken, då den gör att vänsterledet får en form som innehåller 2ᵏ, vilket vi vill ha för att kunna utnyttja vårt antagande.

Högerledet då? Vi vill få över även det på en form där vi kan utnyttja förankringssteget. Om vi når exempelvis 2 ⋅ k³ så är vi hemma efter att vi kan stryka tvåorna och då få tillbaka vårt visade antagande, så en tanke är att jobba sig mot detta uttryck; vi behöver inte hitta en likhet mellan detta och högerledet, utan vi kan med gott samvete approximera mot större högerled än det ursprungliga, eftersom det vi ska visa är att högerledet är mindre än vänsterledet. Fundera på detta ett tag för att se varför vi kan "höfta lite" åt det hållet och ändå visa samma sak.

Vi kan utnyttja att vi vet att k alltid kommer vara minst 10, enligt satsens förutsättningar.
   (k + 1)³
      = k³ +3k² + 3k + 1
      < k³ +3k² + 3k + 10
      ≤ k³ +3k² + 3k + k
      = k³ +3k² + 4k
      < k³ +3k² + 10k
      = [Se mönstret, fortsätt komprimera uttrycket på liknande sätt för att till slut nå…]
      = 2k³
      < 2 ⋅ 2ᵏ   ← här använder vi vårt antagande
      = 2ᵏ⁺¹
där de gröna bitarna visar 2ᵏ⁺¹ > (k + 1)³, dvs att påståendet stämmer även för k + 1.

Påståendet stämmer för n = 10; påståendet stämmer för n = k + 1, k heltal ≥ 10; enligt induktionsaxiomet stämmer påståendet för alla heltal ≥ 10.

Det hjälper inte här, då man ändå behöver visa att (k + 1)³ ≤ 2k³ för k ≥ 10 på något sätt.

Mönstret är snarare att titta på vilken term som ökas (minsta potensen; först är det konstanten 1 som ökas till 10) för att sedan kunna ersättas med k, bakas in i en högre potens av k, öka förfaktorn till denna (vilket ger ett större uttryck eftersom vi vet att k är positiv), omvandla till k, få en ännu högre potens som kan bakas in med nästa term, etc. Om man vill kan man skippa mellansteget där man explicit skriver ut "10" och gå direkt till k, men jag lämnade det kvar för att förtydliga vad som händer.

Titta på varje steg och vad som skiljer däremellan och hur termerna i uttrycket "samlas ihop" till högre potenser, med målet att samla allt i en enda term.

Nej, förvandla 10k till ≤ k², precis som det förra steget förvandlade 10 till ≤ k. Vi vet att k  ≥ 10, så vi kommer få ett uttryck som är större. Förfaktorn byts alltså ut mot en variabel, vilket ökar potensen, vilket gör att vi kan addera till nästa term och minska antalet termer i uttrycket, tills vi når en enda k³-term.

Vissa koncept av induktionsuppgifter är vanligen desamma; specifikt hur man vill kunna utnyttja antagandet för att isolera "tillskottet" när man går till nästa heltal, och se att dessa tillskott är lika. Exakt hur man manipulerar uttrycken skiljer från uppgift till uppgift. Här har vi en olikhet i stället för en likhet, och behöver arbeta med lite approximationer.

Jag försöker lösa följande problem:

Beräkna 15^803 mod 867

Hur går man till väga?

Har du någon kod som ger fel resultat, eller vad är det som felar? Antar att F kommer vara konstant under förloppet, för annars blir det nog komplikationer.

Den användbara egenskapen här är mer specifikt att en partition är en uppdelning i disjunkta (icke-överlappande) icke-tomma delar som täcker hela den ursprungliga mängden.

Rita upp en cirkel som representerar den fulla mängden och dela upp den i områdena A, B och C. Visualisera vad som händer i varje uppgift (nyckelbegrepp: union, snitt, differens) och se om det håller eller inte.

Det är givet att A, B och C tillsammans bildar en partition av S — dvs de täcker sammanlagt hela S, samtidigt som de inte överlappar med varandra. Varje deluppgift frågar om den mängd de beskriver också är en partition av S.

Om vi benämner ytan av Norden som N, så är mängden som består av delytorna Danmark, Finland, Island, Norge och Sverige en partition av N. De fem delmängderna täcker tillsammans hela N, och de överlappar inte. Om vi nu definierar Skandinavien = Norge ∪ Sverige, så är din första deluppgift som att fråga ifall även mängden {Danmark, Finland, Island, Skandinavien} är en partition av N.

I vilket fall så tolkar du nog PQ-formeln fel någonstans ifall du behöver "byta tecken" på det sättet. Din första ekvation
   x² − 6x + 5 = 0
har lösningarna
   x = 1
   x = 5
medan din andra ekvation
   x² + 6x − 5 = 0
har lösningarna
   x = −3 ±√14
så om du använder PQ-formeln "rätt" så ska det inte fungera att byta tecken lite på känn.

Som alltid när PQ-formeln nämns så vill jag rekommendera att lära dig hur den härleds, då det är väldigt snabbt gjort genom att lösa ekvationen x² + px + q = 0 med kvadratkomplettering. Att kunna detta ger insikter både om formeln i sig och vad som händer. Jag har fortfarande inte helt och hållet förstått varför gymnasiet är så kärt i att förvandla lösning av andragradsekvationer till en "stoppa in i formel"-uppgift, då det stjälper mer än det hjälper.

Lite exempel att fundera på, med lite visualiseringsexempel enligt analogen med Nordens länder:

Kan samma element finnas i A och B ∪ C? (Kan samma yta av Norden tillhöra både Finland och Skandinavien?)

Vet vi vilka element som B och C har gemensamt? Kan B ∩ C då uttryckas enklare? (Kan samma yta av Norden tillhöra både Norge och Sverige?)

Hur ser mängden B ∖ C ut? Kan den uttryckas enklare? (Vilken yta i Norden motsvarar "Allt som ligger i Norge, förutom det som även ligger i Sverige"?)