Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

*Flyttad till mattehjälpstråden*

Som nämndes så får du ställa upp ett ekvationssystem, dvs i detta fall två ekvationer som innehåller gemensamma variabler.

Du har fått två olika uppgifter om tryckkostnader, så skriv dessa som separata ekvationer (låt t ex F beteckna antalet fysikböcker och M antalet matematikböcker).

Har du väl lyckats skriva upp ekvationerna så är det mesta löst. Undrar du hur man löser ett sådant system, så återkom med ekvationerna i en post för fler ledtrådar.

Kan snabbt nämna att det inte är en slump att du fått just 2 ekvationer och 2 variabler — faktum är att ett linjärt ekvationssystem med lika många obekanta som ekvationer alltid går att lösa (om man tar hänsyn till att t ex "A + B = 5" och "2A + 2B = 10" egentligen inte är "två" ekvationer, utan en och samma ekvation skriven på två olika sätt). Åtminstone den tidigare mattedelen på högskoleprovet var bara en massiv övning i att kunna skriva upp ekvationer och räkna obekanta (man behövde ju inte ens lösa dem, bara säga om de var lösbara).

Hur räknar man ut katetern på en triangel om man bara vet hur lång hypotenusan och den ena katetern är?

Om man ska räkna ut hypotenusan vet jag hur man gör, men katetern förstår jag inte.

Om någon vet förklara gärna grundläggande, är dålig på matte.

Det är ju "bara"(förstår att det inte är lika lätt för alla) lösa pythagoras sats.

a och b är katetrar, c är hypotenusan
a^2 + b^2 = c^2 <=> a = sqrt(c^2 - b^2) eller b = sqrt(c^2 - a^2)

sqrt är kvadratroten av det som är inom parentesen.

Fråga dig detta och svara i tur och ordning:

1. Om han drar 1 boll, vad är sannolikheten att den är grön?

2. Om han drar 10 bollar, hur många kommer därmed i genomsnitt vara gröna?

3. Hur många behöver han alltså dra för att i genomsnitt dra 10 gröna?

Diametern i enheten cm efter t timmar ges av funktionen d(t).

Randvärden:
   d(0) = 50
   d(72) = 40

Givna relationer:
   A = k d²
   V = k d³
där A är ytarea och k är en konstant map ("med avseende på") tid.

Given differentialekvation är:
   dV/dt = k A

Hit kom du. Nu behöver du börja pussla ihop de uppgifter du fått. Du har egentligen gjort det "svåra" i att definiera själva problemet och sambanden och det är en snabb uppgift, så jag visar hela grundtanken:

Sätt in uttrycket för V i ovanstående ekvation:
   dV/dt = d(k d³) / dt = [kedjeregeln] = 3k d² dd/dt
Vänsterledet ovan var även lika med k·A, så:
   3k d² dd/dt = k A
Stoppa in given relation för A och förenkla:
   3 dd/dt = k
Möblera om:
   dd/dt = k/3

Integrera map t:
   d(t) = k t/3 + C
där C är en konstant map t.

Sätt in randvärden:
   d(0) = 50 ⇒ C = 50
   d(72) = 40 ⇒ k = −5/12

   ∴ d(t) = −5t/36 + 50

Det är alltid en bra reflex att sätta in randvärdena i slututtrycket och kontrollera att det stämmer, vilket det ska göra enligt konstruktion:
   d(0) = −5 · 0 / 36 + 50 = 50   OK!
   d(72) = −5 · 72 / 36 + 50 = −10 + 50 = 40   OK!
Det kan tyckas fånigt eftersom man använde detta faktum i uträkningen, men tro mig: när det börjar bli klurigare uppgifter i flera variabler och annat så är det väldigt nyttigt att redan ha reflexen att kontrollera sina svar. Det går oftast väldigt snabbt att kontrollera, och det kan rädda väldigt många tentapoäng.

Om roten av ett tal inte blir ett heltal så är är talet irrationellt. Finns det något bevis för detta?

T.ex sqrt2 är ju irrationellt för det blir ju ca 1.41. Sqrt4 däremot blir ju ett heltal 2 så det är reellt. Men Sqrt 5 blir inget heltal så det är irrationellt.

Motbevis till ditt påstående:

√(9/4) = 3/2 vilket inte är irrationellt, och inte ett heltal.

Okej, endast roten ur heltal.

Påstående
x (positivt) heltal. Visa att √x antingen är ett heltal (vilket gör x till en s k jämn kvadrat) eller irrationellt.

Bevis
Anta att roten kan skrivas som ett rationellt tal, dvs:
   √x = p/q
där p, q är heltal (q ≠ 0) och relativt prima (dvs inga gemensamma faktorer förutom 1, dvs förkortade så långt som möjligt). Det går alltid att förkorta ett rationellt tal så att detta gäller, så det är ingen begränsning.

Om q = 1 så är p/q ett heltal (och x är en jämn kvadrat). Anta fr o m nu att q ≠ 1 för att titta på övriga fall.

Kvadrera:
   x = p²/q²
Skriv om:
   x q² = p²
Alltså måste x vara en faktor i talet p. Alltså kan p skrivas som p = x · r, där r = p / x, r heltal.
   x q² = (x r)²
   q² = x r²
Alltså är x även en faktor i q, men detta är en motsägelse eftersom vi antog att p och q var relativt prima. Alltså kan roten inte vara på formen p/q, alltså måste √x vara irrationellt.

Kanon, tackar!
Kom över detta i boken "Matematik för ingenjörer" i kursen Matematik Breddning på gymnasiet. Dock så stod bara påståendet och inget bevis vilket ledde till att vi elever blev lite fundersamma, och läraren kunde inte på rak hand något bevis för det. Ska visa detta nästa lektion på måndag.

Jag har inte direkt sett det generella beviset innan heller, men metoden jag använde är den jag lärt mig fungerar för att visa att t ex √2, √3, √5, etc., alla är irrationella. Slängde in ett x i stället för 2, 3, 5, etc., och såg vad som hände.

Jag ser att Wikipedia kallar denna bevistyp för Proof by infinite descent. På samma sida, under beviset för att √2 är irrationellt, så har de även ett alternativt bevis för det påstående du frågade efter. Här finns ytterligare ett, och här finns Euklides variant.

Det står alltså med i Euklides gamla böcker (attans att man inte var först den här gången heller), men läser man vidare ser man att det tros [1] vara en person som hette Theaetetus som bevisade det först.

*Trådar sammanfogade*

Inte till mycket nytta när frågan ovan redigerats bort, men hellre än att ha skräptrådar liggandes. Personen som postade ovan är välkommen att återställa sitt inlägg. Har det lösts så kan ju även svaret skrivas så att andra kan få hjälp, kommentera, belysa någon speciell aspekt, etc.

Har tänkt skriva matematik- och fysikprovet till våren inför Chalmers -13, har ni några tips och tankar kring det? Har läst Matematik A-E + diskret, Fysik A, B och två breddningskurser. Tio relevanta kurser alltså, så det ska inte vara något nytt på provet. Hur förbereder jag mig bäst? Inga hjälpmedel tillåtna oroar mig lite

Står det att inga hjälpmedel är tillåtna så kommer du inte ha någon nytta av dem ändå. Har inte fått ha miniräknare på några mattetentor på Chalmers (undantag statistik) och jag har inte direkt saknat det. Det jag hade störst problem med i början var trigonometri utan miniräknare. Gymnasiet brukar vara designat för att man ska räkna det med miniräknare. Har du inte bra koll på enhetscirkeln så är det alltid bra att repetera den.

Precis, bara att träna på att använda miniräknaren så lite som möjligt. Det går oftast minst lika bra utan, det kanske tar några sekunder extra bara.
Enhetscirkeln är guld värd

Bästa sättet att förbereda sig på att är nöta de gamla proven. Du ska förstå varje uppgift på varje gammalt prov, och om det är något som är oklart så läs på om detta. Hemsidan du länkade har gamla prov med facit sedan 2007, så det finns att träna på.

Lös varje prov med penna och papper, ordentligt (dvs skriv ner din lösning så att en annan person skulle kunna förstå den, eller kanske främst du själv om du tittar på din lösning ett par veckor senare). Har du frågor på proven så kanske du har någon lärare tillgänglig. Annars så finns t ex denna tråd och fysiktråden här på SweClockers, där det finns tillräckligt med personer som bör kunna lösa och förklara varje uppgift på dessa diagnostiska prov.

Dum fråga men jag känner att den linjära algebran ligger lite för långt bort i tiden för min hjärna just nu.

Jag har ett olinjärt ekvationssystem där alla x är upphöjt i två. Går det då att göra om det till ett linjärt ekvationssystem genom att bara göra en liten substitution så att x^2=X och lösa det för X istället för x och sedan bara ta roten ur X efteråt?

Ekvationen ser ut ungefär så här:

A1 = x1^2
A2 = -x1^2+x2^2
A2 = -x2^2+x3^3
...
Ai = -xi-1^2+xi^2

Så planen är att substituera xi^2 med Xi, lösa det i Matlab med X=A\b och sedan bara säga x = X.^0.5

Edit: Ja det ser ut som om det fungerar. Jag får ett svar som verkar rätt när jag kontrollräknar.

Min linjära algebra sitter inte heller längst fram på näthinnan, men med fina ord skulle jag säga att det bygger på att avbildningen x² → x för x ∈ ℝ, x ≥ 0 är bijektiv och ordningsbevarande med ett överensstämmande nollelement (homomorf), vilket gör rummen isomorfa och att det därmed är möjligt att transformera mellan dessa och ha ekvivalenta linjära lösningar (isomorfism är även begreppet som används för att motivera att man kan gå mellan geometriska vektorer och algebra).

Ett snabbt test: om vi tittar på systemet
   x² + y² = 74
   x² + 4y² = 221
(konstruerat för att ha lösningen x=5, y=7), och i stället efter avbildningen ovan löser
   X + Y = 74
   X + 4Y = 221
så får vi lösningarna
   Y = (221−74)/3 = 49
   X = 74−49 = 25
och x = √X = 5 och y = √Y = 7, som vi hoppades på (begränsningen x, y ≥ 0 gör att svaret är entydigt, annars har man tecknet kvar som frihetsgrad).

Jo jag konstaterade också att jag förlorar tecknet med det gör inget för värdena på xi är strikt ökande. Det handlar om radier på en cirkel och dagen jag får negativa radier så är nog lösningen av ekvationssystemet mitt minsta problem

Tack för att du tog dig tiden att krångla ihop ett bevis.

Tackar. Det verkar alltså inte vara så knepigt, får göra de gamla proven och ta en titt här i tråden om något är svårt. Förhoppningsvis blir detta enkelt, dock verkar det som att man endast behöver klara godkänt-gränsen på matematik- och fysikprovet för att antas via den urvalsgruppen (till teknisk fysik på Chalmers). Antingen är provet svårt eller så är det få som skriver det.

Edit: Ursäkta för sent svar, är fruktansvärt slarvig med att gå tillbaka till trådar jag skrivit i. Det känns ända in i själen när man vet att det finns svar skrivna av personer som vill hjälpa en, men man ids inte svara.

Ja, jag trodde det var en direkt resultatbaserad antagning beroende på provresultat, men som du säger så verkar det helt enkelt vara en tredje urvalsgrupp, baserad på "vanliga" betygssnittet, som man bara får "ta del av" om man fått godkänt på proven.

Underskatta dock inte vad "Godkänt" behöver betyda på högskolenivå . Det är inte samma sak som "G" på gymnasiet, precis. Av egna erfarenheter av både gymnasium och teknisk fysik på CTH så vågar jag säga att ett godkänt resultat på en tenta (betyg 3 eller högre) har många gånger högre krav än ett MVG på gymnasienivå. Det gäller dock de "riktiga" kurserna; exakt var nivån ligger på intagningsprovet vet jag inte då det tillkom efter min antagning.

En ytterligare sak att nämna kan vara att du säkerligen kommer ha nytta av att kunna materialet som proven behandlar i detalj direkt när utbildningen börjar, så det finns ingen konstruktiv anledning i att "bara" sikta på godkänt, så att säga.

Att klara 30 poäng av 75 på ett prov som endast är gymnasienivå kan väl inte riktigt jämföras med tentor, men jag förstår din poäng. Det svåra är inte att komma in på Chalmers, utan att ta sig ut!

Jag har två problem jag behöver lite hjälp med. Har svårigheter med textbaserade problem.

1: En vattentank i form av en rätt cirkulär kon har spetsen vänd nedåt. Basytans radie är 6m, tankens djup är 8m. Vatten fylls på med hastigheten 0.1 m^3/min. Med vilken hastighet stiger vattenytan då djupet är 4m?

2: Av fyra lika brädor vill man göra en ränna med lodräta sidor. Vilken vinkel skall bottenbrädorna bilda med varandra för att rännan skall rymma så mycket som möjligt?

Jag har inge aning om hur jag ska tackla dessa.
Tacksam för svar.

Skickades från m.sweclockers.com

Nu har jag ingen bra koll på hur man får in bilder här, vilket skulle behövas, men kan förklara lite med formler ord iallfall.

1. Tänk dig att du ser tanken genom ett tvärsnitt, där du snittat längs basens diameter och nedåt.
Låt höjden av vattenytan för tillfället vara h (den kommer senare att sättas till 4, men vi härleder först ett generellt uttryck).
Med hjälp av basytan och ytan där vattnet är (som representerar två linjer i snittet) så kan du se två likformiga trianglar.
Den första triangeln får du från snittet av hela konen och den andra från snittet vid vattenytan.

Kalla radien av ytan vid höjden h för r(h). Du kan mha likformighet uttrycka r(h) = (3/4)*h.
Uttryck volymen vid höjden h som V(h), eller om vi som i uppgiften vill låta h bero på tiden som, V(h(t)).
Vi kan beräkna V(h) direkt som volymen på en kon : V(h) = pi*r(h)^2*h/3 = pi*(3*h/4)^2/3 = pi*3*h^3/16.

Kedjeregeln ger oss (V(h(t)))' (derivata med avseende på t) = V'(h)*h'(t).
Men vi kan räkna ut V'(h). Det blir pi*9*h^2/16.
Vi vet också vad (V(h(t)))' är på förhand. Det är ju volymökningen per tidsenhet som är 0.1 m^3/min.
Vi får alltså att
0.1 = (pi*9*h^2/16)*h'(t).
Det är h'(t) vi söker vid tidpunkten t0 när h = 4. Vi behöver inte räkna ut tidpunkten t0 utan kan bara sätt in h=4 ovan :
0.1 = (pi*9*4^2/16)*h'(t0), vilket get h'(t0) = 0.1/(9*pi) m/min.

(Med reservation för slarvfel)

2. Här kan du också tänka dig ett tvärsnitt av rännan (i flytriktningen). Bör se ut så här
| |
\/
Där alla plankor är lika breda. Du vill maximera denna snittarea, vilket också kommer att maximera rännans volym.
Detta är en figur som består av en rektangel och en triangel. Uttryck den totala arean och maximera med hjälp av derivata.
Kalla den okända vinkeln v. kalla plankornas bredd b.
Arean av triangeln är enligt areasatsen (1/2)*b^2*sin v.
Ena sidan i rektangeln är b. Den andra sidan, kalla den c, får du räkna ut med cosinussatsen i den undre triangeln.
c^2 = b^2+b^2-2b*b*cos v = 2b^2-2b^2*cosv så c = roten ur 2b^2-2b^2*cosv.

Nu kan du uttrycka den totala arean med hjälp av vinkeln v. Derivera med avseende på v och finn nollställen etc för att finna maximum.