Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

@Linkan42 *Flyttade dina inlägg till Matematiktråden (dina matematikproblem här!)-samlingstråden*

@superegg: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-2x+-7%29+%3E%3D+%28...

Det beror väl på vilken kalkylator du har. Sedan kan du alltid använda dig av papper och penna och göra som vi gjorde förr i tiden. Är ju en helt vanlig ekvation. Flytta över till högra eller vänstra sidan och sedan lösa ut x.

Det är mycket viktigt att du förstår hur du ska hantera en olikhet algebraiskt. Kan förklara mer ingående ikväll.

OK, så uppgiften lyder:

Lös olikheten −2x − 7 ≥ 3x − 2.

Det är viktigt att förstå vad det betyder att "lösa en olikhet". Liksom när man löser en ekvation brukar man börja med ett ursprungligt påstående, till exempel x² = 9, och fylla på med fler påståenden under det. Det finns då i princip tre resultat man kan få fram:

• Ett påstående som är sant givet det ursprungliga påståendet (x² = 9), men som inte säger så mycket – i detta fall till exempel "x är ett reellt tal". Det är sant, men inte unikt för ekvationens lösningar: 42 är också ett reellt tal, men inte en korrekt lösning. Vi har funnit alla korrekta lösningar, men också en massa felaktiga lösningar.

• Ett påstående som medför att det ursprungliga påståendet är sant, men som inte är nödvändigt för att det ska vara det – till exempel "x = 3". Det medför förvisso att x² = 9, men det är inte nödvändigt; x = −3 är ju också en lösning. Vi har funnit en korrekt lösning, men inte alla korrekta lösningar.

• Ett påstående som är ekvivalent (likvärdigt) med det ursprungliga påståendet – i detta fall "x = ±3" eller "x ∈ { −3, 3 }". Vi har bara funnit korrekta lösningar till den ursprungliga ekvationen, och vi har funnit alla korrekta lösningar.

För att undvika att man kommer fram till något av de två första resultaten gäller det att varje nytt påstående man skriver faktiskt är ekvivalent med det föregående, inte bara medför det eller medförs av det. Ekvivalenta påståenden ger exakt samma information som varandra, varken mer eller mindre.

Med det sagt, att lösa en olikhet är ganska likt att lösa en ekvation, men inte helt. Liksom i en likhet kan du i en olikhet addera samma tal på båda sidor och få en ny, ekvivalent (o)likhet:

• 5 = 5 är ekvivalent med 5 + 1 = 5 + 1.

• 5 < 10 är ekvivalent med 5 + 1 < 10 + 1.

Men till skillnad från likheter fungerar inte detta i allmänhet med multiplikation:

• 5 = 5 är ekvivalent med 5 · (−1) = 5 · (−1).

• 5 < 10 är inte ekvivalent med 5 · (−1) < 10 · (−1); det sistnämnda är inte ens sant.

När man skriver om en (o)likhet är det som sagt viktigt att försäkra sig om att den nya omskrivningen verkligen betyder samma sak som det man redan hade. För olikheter har du kanske fått lära dig att "om man multiplicerar med ett negativt tal på båda sidor måste man också samtidigt vända på olikhetstecknet":

1.    −12x < −16

2.    12x > 16

3.    3x > 4

4.    x > 4/3

Detta är inget man "bara måste komma ihåg" – det går att förstå varför genom att prova med enkla tal™, som jag gjorde med 5 och 10 ovan.

På samma sätt som om det hade stått:

12x = 16

Då hade jag sagt:

12x / 4 = 16 / 4
3x = 4

Ja, den videon tycker jag presenterar bra exempel och hur man gör™ för att lösa dem.

Olikheter på "grundnivå" är egentligen mycket likt ekvationslösning, men man behöver se upp med multiplikation med negativa tal. (Tänk på att multiplikation och division i denna kontext är samma sak!) Hur man gör™ är att man vänder på olikhetstecknet när man multiplicerar båda sidorna med ett negativt tal. Men det går med enkla exempel att förstå varför man gör så:

5           < 10            ✓ Stämmer.
5 · (−1) < 10 · (−1)  ✗ Stämmer inte; −5 är inte mindre än −10.
5 · (−1) > 10 · (−1)  ✓ Stämmer.

Potenser kräver också extra noggrannhet; vilka värden på x uppfyller följande olikhet?

x² < 25

Det hjälper ofta att formulera problemet på svenska™ för att förstå det bättre. I detta fall: "Vilka tal har en kvadrat som är mindre än 25?"

Olikheter kan bli riktigt kluriga – och roliga! – när de innefattar absolutbelopp och när flera olikheter ska uppfyllas samtidigt.

Halloj! Har försökt flera gånger med en uppgift i flervariabelanalys/flerdimensionell analys, men klarar inte av den.

Uppgift 9.17.

Jag börjar med att använda Greens formel, som blir 0 eftersom d/dx -y/(x^2+y^2) är samma som d/dy x/(x^2+y^2).

Jag fortsätter med att dra en linje från (1, 0) till (0, -2) och räknar ut den integralen med hjälp av parametrisering. Här blir något fel, eftersom jag får ln(t) i den primitiva funktionen, som går från 1 till 0 och därmed blir odefinierad.

Vad gör jag för fel?

EDIT: Inser nu att x^2+y^2 inte får bli 0, vilket gör att linjen som jag drar mellan (1, 0) och (0, -2) inte är definierad i alla punkter. Hur kan jag sluta integralen utan att dra den linjen? Ska testa att räkna hela ellipsen och dra bort 3/4.

Har inte den bästa förklaringen till ditt problem men ska försöka hjälpa så gott jag kan. Det vi vet är alltså att ekvationen som du söker är rät, dvs f(x)=ax+b samt punkterna (1;5) och (1;3).

Eftersom x-värdet är detsamma i båda punkterna samtidigt som y värdet förändras innebär detta att funktionen saknar lutning vilket är orsaken till att du får error. Då du har konstaterat detta återstår bara b i ekvationen och då båda punkterna har x-värdet 1 är x-värdet konstant x.

Kanske inte den bästa förklaringen men rekommenderar att du använder Geogebra eller liknande grafritare för att illustrera grafen om mitt svar inte hjälper!

Det är alltid bra att i sådana här fall ta fram en linjal, en penna och papper och rita upp det i ett koordinatsystem. Då ser du rätt fort varför det blir "error".

Denna förklaring stämmer inte, och jag tror tyvärr att den riskerar att förvirra @Snorlena ytterligare (i värsta fall utan att vederbörande själv märker det!). Jag skriver så för att jag själv föll i precis samma fallgropar fram tills för bara några år sedan, så jag sitter inte på någon hög häst. Ser följande problem:

• En ekvation kan inte vara rät (tror jag; rätta mig gärna). En linje kan vara rät, och en ekvation kan beskriva en linje. Petigt? Min erfarenhet är att terminologi spelar stor roll för matematisk förståelse.

• Du tar upp "funktionen" i ditt svar och ger den även namnet f i första stycket. Men TS problem har ingenting att göra med någon funktion. (Detta är den viktigaste punkten.)

• Formuleringen "återstår bara b i ekvationen" ser för mig ut att sakna innebörd.

Jag vill verkligen understryka skillnaden mellan funktion och ekvation, som är två helt olika saker. En ekvation innehåller ett likhetstecken. Sådana funktioner som studeras i gymnasiematten gör aldrig det. En ekvation kan definiera en funktion, till exempel så:

   f (x) = 6x + 1

Notera att ovanstående rad inte är en funktion, utan en ekvation som definierar en funktion som ges namnet f (inte f(x), som många tror).

Skillnaden mellan ekvation och funktion är i själva verket till och med den centrala poängen med Snorlenas uppgift! Den är avsedd att skapa insikten att det finns räta linjer som inte utgör grafen till en funktion, men som ändå (likt alla räta linjer) låter sig beskrivas av en ekvation.

Snorlena, för att verkligen förstå vad x = 1 betyder kan det hjälpa att tänka så här: Den ekvationen beskriver implicit alla punkter i planet vid vilka det är sant att x = 1 (alltså att punktens x-värde är 1). Vilka punkter är det? Jo, det är precis de punkter som ligger 1 steg längre till höger än y-axeln. Vad får du om du markerar alla sådana punkter i planet med en penna? Det finns oändligt många, så du behöver inte markera samtliga, men det behövs inte heller för att förstå.

Jämför gärna med ekvationen y = 1 (som inte är en funktion!), som beskriver alla punkter där det är sant att y = 1. Vilka är det, och hur ser det ut om du markerar dem i planet?

Det kan även vara nyttigt att betrakta ekvationen 1 = 2, som beskriver alla punkter där det stämmer att 1 = 2. Hur ser det ut om du markerar dem?

Själva grafen är din funktion, så du löser alltså

a) genom att du läser av grafen vid x=2 och ser vad y-värdet är (funktionens värde i punkten x=2)

b) detta samma tänk som a) fast tvärtom. Här kollar du där y-värdet = 3 (funktionens värde = 3) och ser vad x-värdet är i den punkten. Värt att nämna här är att din funktion är en andragradsfunktion. Dvs att f(x)=3 kan ha mer än en lösning.

Hoppas det var förståeligt.

Det är av yttersta vikt att du lär dig funktionskonceptet och funktionsnotationen.

Till att börja med: Du förväntas att från frågan förstå att f är en funktion. Detta betyder att du kan ge f ett värde (till exempel 5) och få ett värde tillbaka, som enbart beror på vilket värde du gav och som alltid är samma så länge du ger samma värde. "f(2)" betyder "det värde som funktionen f ger tillbaka om du ger den värdet 2".

Du kommer ofta se påståenden som att "f(x) är en funktion", men det är då i själva verket så gott som alltid f som är en funktion; f(x) är det du får tillbaka från den om du ger den värdet x. I gymnasiematten är f(x) nästan alltid ett tal (och såvitt jag vet aldrig en funktion).

Uppgiften kräver dessutom förståelse för hur en graf kan representera en funktion. Det står garanterat en hel del om det i boken, men sammanfattningsvis: Om du tänker att x-axeln är "marken" och du undrar vad f(2) är, ställ dig då på "marken" i origo, vandra 2 steg åt höger och titta uppåt och neråt. f(2) är så högt ovanför marken som grafen till f befinner sig just där. Om du till exempel ser grafen 5 steg ovanför "marken" kan du dra slutsatsen att f(2) = 5; ser du den istället 3 steg under marken är f(2) = −3.

Detta tycker jag inte stämmer, och jag tycker det är viktigt att göra skillnad på graf och funktion. En graf kan representera en funktion; det går till exempel utmärkt att rita grafen till f om f(x) = x². Det finns också grafer som inte representerar någon funktion, till exempel cirkeln med radie 1 och centrum i origo.

Det stämmer, eftersom grafen till f återfinns 1 steg under (även känt som −1 steg ovanför) x-axeln när x = 2.

De har vänt på problemet, kan man säga: Frågan gäller inte längre vad ett visst indatavärde ger för utdatavärde från f, utan vad för indata som ger ett visst utdatavärde. I deluppgift a frågade de:

    "Om du befinner dig 2 steg till höger på x-axeln, hur högt ovanför dig återfinns grafen till f?"

Nu frågar de istället:

    "Hur många steg till höger på x-axeln befinner du dig om grafen till f återfinns 3 steg ovanför dig?"

Varför?

Bra! Jag ställer frågan för att uppmana dig att motivera för dig själv varför eller, om du inte lyckas med det, fundera över varför ingen motivering verkar finnas. Ibland råkar man nå rätt svar på fel sätt, vilket kan vara väldigt lurigt.

Jag vill nog säga att du förstår! Jag tror nämligen inte att du chansade på 0 och 4.

När variabeln man löser ut heter x och det finns flera lösningar brukar man ange dem så här:

    x₁ = 0,   x₂ = 4

Man kan även skriva så här om man gillar mängdlära:

    x ∈ { 0, 4 }

Slutligen en fråga till dig: Vad är f(0)?

Varför?