Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Väldigt kloka ord.
Om jag kunde åka tillbaka i tiden och ge mig själv några goda råd som nybörjarstudent så skulle det handla om just detta.
Det är lätt att tro att de som är bra på matematik är någon sorts superlogiska varelser som tar påstående a och b och logiskt härleder c utan att blanda in några känslor eller liknande emotionellt tänkande (iallafall var det lite så jag tänkte).

När man diskuterar med folk som är duktiga i matematik om problem så slås man tvärtom av hur ofta man hör saker som "Det känns som att det här borde kunna stämma" eller "Intuitivt verkar det här rimligt".
Som nybörjare kan man då lätt börja undra vad det är för sorts konstiga känslor dessa personer har och man själv inte kan känna något sådant..
Vad det hela handlar om är dock en slags "erfarenhetskänsla". Man har sett liknande matematiska problem tidigare många gångar och olika lösningar och sätt att se på andra liknande problem. Då kan man göra en slags intuitiv uppskattning om det hela verkar rimligt eller inte.

Så hur går man till väga för att bäst bygga upp en sådan erfarenhet/känsla ?
Givetvis finns inget självklart svar, men några råd är :

1. Acceptera inte bara definitioner utan att förstå vad som är poängen med dem och vad de egentligen representerar.
Om du bara accepterar en definition så lär du snabbt glömma den om den inte verkar vettig för dig. Underskatta inte hur lätt det är att glömma information som inte känns vettig.

För att ta ett konkret exempel kan vi ta det här med derivatan. Det går utmärkt att läsa och "lära" sig den formella definitionen av derivata och räkna på det, utan att ha en susning av vad det står för.
Definitionen av derivatan av en funktion f i en punkt x är limes h->0 (f(x+h)-f(x))/h.
Vi kan stoppa in olika funktioner f, räkna ut f(x+h), f(x) osv och låta h gå mot 0 och få ut ett svar.
Vet vi ingenting i övrigt om vad derivatan står för ser detta ut som en ren nonsensprocedur och vi lär glömma det snabbt.

Lär vi oss däremot först att derivatan av en funktion är detsamma som lutningen av dess funktionsgraf och att differenskvoten
(f(x+h)-f(x))/h = (f(x+h) - f(x))/(x + h - x) är lutningen för en linje mellan två närliggande punkter på grafen (x,f(x)) och (x+h, f(x+h)) och att denna lutning är en bra approximation till lutningen av tangentlinjen till grafen i punkten x och blir bättre och bättre när punkterna närmar sig varandra (då h->0), så förstår vi precis varför definitionen av derivatan är som den är.
Glömmer vi den så kan vi lätt härleda den själva när vi vet vad den står för. Vi har en bild i huvudet vad som egentligen händer när vi har de två punkterna som närmar sig varandra och vi räknar lutningen på linjen mellan dem.

2. Väldigt ofta kan man göra en geometrisk bild av vad som händer i ett matematiskt bevis eller resonemang. En bild är väldigt mycket lättare att komma ihåg än ett gäng formler och deras relationer.

3. Försök inte slippa så billigt undan som möjligt, utan försök se allt ur flera olika synvinklar. När du läst igenom ett bevis och tycker att du förstått för första gången så har du bara börjat att förstå det. Nästan alltid finns en djupare förståelse som du inser långt senare (precis som Swiifty nämnde).
Jag upphör aldrig att förvånas över hur mycket jag egentligen missade av vad jag egentligen läst under mina studier. Detta trots att jag alltid gjorde bra ifrån mig på tentorna.
Denna djupare förståelse förenklar ofta allt mycket. Det som såg ut som ett skumt virrvarr av formler som på något magiskt sätt redde ut sig på slutet blir plötsligt lättförståeliga, kanske genom en enkel geometrisk bild eller så.
Dessutom, om du har flera sätt att se på samma sak så är det lättare att komma ihåg något av synsätten.
Överskatta aldrig minnet..
Just detta med att kunna se saker på flera sätt och finna alternativa bevis är viktigt för att bli bra på matte och att utveckla den där "erfarenhetskänslan".

4. Kanske rätt självklart, men skippa inte att läs bevisen. På högskolan blir det mer och mer de som allt fokus hamnar på, till skillnad från i gymnasiet där man mest sätter igång och räknar exempel utan att ha gått igenom bevisen.

Du har ju en andragradsekvation. Vad säger rötterna till den dig? Alltså när ax^2+bx+c = 0?

cos 2v = (cos v)^2 - (sin v)^2 menar du väl? Dock tror jag att
cos 2v = 2(cos v)^2 -1 är mera direkt tillämpbar här.

En annan metod är att sätta in väl valda vinklar tills man har tre ekvationer med A, B och C och sedan lösa ekvationssystemet.

Börja med att primtalsfaktorisera. Sedan blir det lite som sudoku, där faktorer eller produkter av faktorer skall in i rutorna.

Man ser till exempel direkt att mittenrutan måste vara en multipel av 7 då kanterna ej innehåller den faktorn.

Edit: sen naturligtvis.

Testa till exempel vad som händer om v = 0. Kanske finns det fler vinklar som förenklar sin och cos...

Inte på rak arm, men ofta kan man utnyttja att cosinus är noll samtidigt som sinus är 1, vilket gör allt mycket roligare.
v = 0 ger till exempel
(9cos(0)−sin(0))^2= A cos(2*0) + B sin (2*0) + C <=> 81 = A + C
v = pi/2 ger
(9cos(pi/2)−sin(pi/2))^2= A cos(pi) + B sin (pi) + C <=> 1 = -A + C
Nu kan man räkna ut vad A och C är, men en vinkel till krävs för B. Förslagsvis något som inte gör att sin(2v) blir 0...

Nej, det är rätt svar.
Sätt bara in ditt svar i dina ekvationer så ser du att det stämmer.

Vet inte om detta klassas som ett matteproblem is sig men har problem med uträkningen på detta alltså.

Lånat 1 300 000 kr och lånet ska amorteras på 25 år.
Räntan är 6%, ska betalas 4 gånger per år.

Jag har fått fram att amorteringen är 13000 kr per gång och ränta är 19500
amortering: 13000
ränta: 19500
Betala var 32500:- per kvartal.
Men kan amorteringen vara mindre än räntan?

Lite tips :
Beloppet du betalar i ränta är inte samma varje gång. Amorteringarna gör att lånet du ska betala ränta på krymper och därmed minskar räntan.

Vad är egentligen förutsättningarna här förresten ?
Ska du betala samma summa varje gång, dvs ska ränta plus amortering vara samma hela tiden ?

Och vad är egentligen frågan ?
Det är klart att du kan amortera precis 13000 vid varje tillfälle och samtidigt betala in räntan separat om du vill.
Då kan ju mycket väl ränteutgiften vara mindre än amorteringen.

Om du vill betala samma summa (ränta plus amortering) vid varje tillfälle så kan du tänka såhär:
Kalla summan du har kvar i lån efter varje betaltillfälle i för S(i) (då är tex S(0) = 1300000 och S(100) = 0).
Kalla totala summan du ska betala vid varje tillfälle för x.
Kalla den procentuella andelen av lånet du betalar i ränta vid varje tillfälle för r (så att r = 0.06/4 = 0.015 i ditt fall).

Nu ställer vi upp situationen vid varje betaltillfälle :

Vid starten har du S(0) = 1300000.

Vid betaltillfälle 1 ska du betala in ränta : r*S(0)
Totalt ska du betala : x
Amorteringen blir alltså : x - r*S(0).
S(1) blir alltså : S(0) minus amortering = S(0) - (x-r*S(0)) = (1+r)*S(0) - x

Vid tillfälle k+1 ska du betala in ränta : r*S(k)
Totalt ska du betala : x
Amorteringen blir alltså : x- r*S(k)
Kvar i lån = S(k+1) = S(k)- (x-r*S(k)) = (1+r)*S(k) - x

Här har du en rekursionformel för återstående skuld.

S(1) = (1+r)*S(0) - x
S(2) = (1+r)*S(1)-x = (1+r)*((1+r)*S(0)-x) - x = (1+r)^2*S(0) - (1+r)x - x
S(3) = (1+r)*S(2)-x = (1+r)^3*S(0) - (1+r)^2*x - (1+r)*x -x

Vi ser att
S(k) = (1+r)^k*S(0) - (1+r)^(k-1) - (1+r)^(k-2) - .... - x = (1+r)^k*S(0) - ((1+r)^(k-1) + (1+r)^(k-2) + .... + 1)*x

Vi har en geometrisk summa innanför parentesen och vi kan använda formeln för geometrisk summa :
(1+r)^(k-1) + (1+r)^(k-2) + .... + 1 = ((1+r)^k - 1)/r
Så
S(k)=(1+r)^k*S(0) - (((1+r)^k - 1)/r)*x

Vi vet att S(100) = 0 (lånet ska vara precis betalt vid betaltillfälle 100). Så k= 100 i vårt fall.
Detta ger oss en ekvation där vi kan lösa ut x.
(1+r)^k*S(0) - (((1+r)^k - 1)/r)*x = 0 eller om vi löser ut x :

x = r*(1+r)^k*S(0)/((1+r)^k - 1)

Vi känner till antalet betaltillfällen k = 100. Vi vet också S(0) = 1300000, samt r= 0.015.
Nu är det vara att sätta in i formeln.
Det ser ut att ge x ungefär = 25182 kr. Så vid varje tillfälle ska du betala 25182 kronor.
Först betalar du räntan och av det som återstår av den summan amorterar du.

(Med reservation för slarvfel, men hoppas att ide'n framgår)

Nja, bör vara
x1x2 + y1y2 =< sqrt(x1^2 + y1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2) (*)

I ord säger detta att skalärprodukten mellan två vektorer alltid är mindre än produkten av längderna av vektorerna.

Geometriskt sett så är det uppenbart att det stämmer. Skalärprodukten mellan två vektorer med vinkel högt 90 grader mellan varandra är längden av vektor 1 gånger längden av projektionen av vektor 2 på vektor 1. Är vinkeln mellan vektorerna över 90 grader får vi samma sak fast med ett extra minustecken.

Hursomhelst, vi ser då att om vi har två vektorer med fixa längder så är skalärprodukten mellan dem maximal om de är precis parallella med varandra och pekar åt samma håll. (Då blir ju projektionen så stor som möjligt). Skalärprodukten blir då längden av den ena vektorn gånger längden av den andre.
Det är precis vad som står på höger sida i Cauchy Schwarz olikhet ovan och alltså kan skalärprodukten aldrig bli större än detta.

Algebraiskt så brukar man bevisa Cauchy Schwarz genom att först notera att skalärprodukten av en vektor med sig själv är längden av vektorn i kvadrat och därmed alltid positiv. Ta nu vektor v+t*u där v och u är vektorer och t är en vanlig variabel.
Vi får
0 <= (v+t*u) * (v+t*u) = v*v +2t*v*u +t^2*u*u. (där jag låtit * beteckna både skalärprodukt och multiplikation)
Sök nu med hjälp av derivata det t som minimerar högerledet och sätt in detta t.
Efter lite förenkling ger det dig Cauchy Schwarz.

(För övrigt kan du också sätta absolutbelopp runt skalärprodukten i vänsterledet. Det brukar ingå i Cauchy-Schwarz olikhet)

Trevlig artikel det där.
Det är ju alltid bra om man kan se ett problem från flera olika synvinklar och känner till flera olika bevismetoder (Beviset jag visade är nr 9 i den artikeln).
Det är inte bara trevligt som kuriosa, utan kan hjälpa en avsevärt i framtiden när man ska lösa andra problem och man kör fast när en viss evismetod inte fungerar.

Khan Academy kan verkligen rekommenderas. Massor med minikurser om allt möjligt inom matematik och även andra ämnen.

Tack desamma !

Behöver lite hjälp med en uppgift, ska bestämma för vilka x∈R som en olikhet gäller. Har kommit så här långt:

Med pq-formeln får jag täljaren till x=1± rot(6).

Jag vet ju att x ska vara 1± rot(6) i täljaren för att det ska vara ≥0, samt att x ska vara -2 eller 1 i nämnaren. dock vet jag inte riktigt hur jag ska formulera svaret?

Om man kör ekvationen i Wolfram alpha så ska svaret vara:

samt

Skulle någon kunna förklara hur man får fram det svaret? Har försökt att göra en teckentabell men det gick inte så bra..

Det där ger två punkter som tillsammans med nämnarens rötter ger fyra punkter på x-axeln och därmed fem intervall. Avgör för varje sådant om varje parentes är positiv eller negativ.