Ladda ner eller överföra inkorgen. Gmail.

Att befintligt konto är GMAIL är klart, däremot vad det nya kontot kommer att vara någonstans är oklart. Körs det IMAP eller POP3?

Det går väll att lägga in gmail i typ Outlook och sen markera alla mail och dra till en mapp som ligger sparad på datorn, sen kan du dra in det i outlook igen när du konfigurerat nya mailadressen?

Har du ett konto i ex thunderbird/outlook så lägg till båda kontona i programmet (förutsätter att det nya är imap/exchange). Ställ också in i mailprogrammet att du ska synka ALLA mail. Klicka sedan igenom alla mappar du har (inkorgen i ditt fall) så ser du status om allt är synkat.
När allt är synkat så markera alla mail (i inkorgen i ditt fall) och drar dem till inkorgen på ditt nya mailkonto i samma mailprogram, precis som när du flyttar filer i utforskaren, då kommer den flytta alla markerade mail ifrån gamlakontot -> nya kontot. Och samtidigt synka dem. Det är de lättaste om du inte kan exportera mailen till ex .pst