Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Hur bestämmer man arean av det område som begränsas av kurvorna y=x^2-2x och y=2x-x^2? Sätter man y=x^2-2x=2x-x^2 för att få ut integrationsgränserna?

Behöver lite hjälp med en uppgift som går ut på att jag med hjälp av derivatans definition ska lösa : f'(2x) om f(x)=x+x^2.
Jag har grubblat länge på denna uppgift och ger snart upp. Ska jag använda mig av f(x+h)-f(x)/h ?
Vore tacksam för svar!
/ Joel

Skickades från m.sweclockers.com

f'(x) = ( f(x+h) -f(x) )/ h,
lim h->0, viktigt här, h går mot noll.

f(x + h) = (x+h) + (x+h)^2
f(x) = x + x^2

Sätt in det i f'(x) = ( f(x+h) -f(x) )/ h,

Du kommer då få ett uttryck som ser ut som

f'(x) = ( x+h+(x+h)^2 -x -x^2)/h => f'(x) = ( h + 2xh + h^2)/h =>(dividera med h) f'(x) = 1 + 2x + h => f'(x) = 1 + 2x, tänk på att h->0,
sätt sedan in 2x och då blir det f'(2x) = 1 + 2*(2x) = 1 + 4x

Metodik:
Försök sätta in och förenkla så långt det går(uttrycket), sen dividera med h där det går, för du vill få bort h från nämnaren.

Börja med att multiplicera allting så kommer du till slut få 35 + 3 * 36 = 143 för att allt annat tar ut sig.

Nej, -(x+3)(x-1) är inte samma sak som (x-3)(x+1). Det är samma sak som -(x+3)(x-1) = (-x-3)(x-1) eller -(x+3)(x-1) = (x+3)(-x+1)
Dvs, ta bara in minustecknet på antingen första eller andra parantesen. Enklast är bara om du utvecklar (x+3)(x-1) först och sedan multiplicerar -36 med varje tal där inne, så -36 * (x^2 +2x - 3) = -36x^2 -72x + 108

Nej, du får bara ett heltal eftersom allt tar ut sig. Kontrollera noggrannt:

(6x+7)(6x+5)−36(x+3)(x−1)

(6x+7)(6x+5) = 36x^2 + 30x+42x + 35 = 36x^2 + 72x + 35
36(x+3)(x−1) = 36(x^2 - x + 3x -3) = 36(x^2 + 2x - 3) = 36x^2 + 72x - 108

så (6x+7)(6x+5)−36(x+3)(x−1) = (36x^2 + 72x + 35) - (36x^2 + 72x - 108) = (36x^2-36x^2) + (72x - 72x) + (35 - (-108) ) = 143

Var noggrann när du multiplicerar ut saker.

http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=35&on_menu=231&pa...

Sedan är det bara att kolla vad som står framför x^2 och x.

Nej, du får bara ett heltal eftersom allt tar ut sig. Kontrollera noggrannt:

(6x+7)(6x+5)−36(x+3)(x−1)

(6x+7)(6x+5) = 36x^2 + 30x+42x + 35 = 36x^2 + 72x + 35
36(x+3)(x−1) = 36(x^2 - x + 3x -3) = 36(x^2 + 2x - 3) = 36x^2 + 72x - 108

så (6x+7)(6x+5)−36(x+3)(x−1) = (36x^2 + 72x + 35) - (36x^2 + 72x - 108) = (36x^2-36x^2) + (72x - 72x) + (35 - (-108) ) = 143

Var noggrann när du multiplicerar ut saker.

Man borde väl kunna använda satsen på både den där vinkeln och den räta samt utnyttja att arean är samma för att räkna ut förhållandet mellan sidorna?

Ställa upp ett ekvationssystem ja.

Det första blir att arean = (katet1*katet2)/2
Det andra blir att arean = (katet1*hypotenusa*sin21)/2
Det tredje blir att arean = (katet2*hypotenusa*sin69)/2

På detta sätt borde du kunna lösa uppgiften, förutsatt att du vet hur man löser ekvationssystem. Men rita gärna upp triangeln i fråga, ge namn till sidorna och vinklarna.

Eller ja, du behöver kanske bara två uttryck eftersom du bara har två okända variabler.

Du har 2 vinklar, 90 + 21, få den tredje vinkeln, 180-90-21 = 64 grader (en triangeln har alltid vinkelsumman 180). Areasatsen säger,

A = Area;

ekv1 A = a*b*sin(gamma) / 2,
ekv2 A = a*c*sin(alfa) / 2,
ekv3 A = c*b*sin(beta) / 2,

3 Ekvationer, 3 okända => du kan få fram de 3 okända. T ex c,

ekv1 = ekv2 =>
a*b*sin(gamma) / 2 = a*c*sin(alfa) / 2=>
b *sin(gamma) = c*sin(alfa) =>
c = b * sin(gamma)/sin(alfa)

Från ekv3, b = 2*A/(c*sin(beta)), insättning i c = b * sin(gamma)/sin(alfa) =>

c = 2*A/(c*sin(beta)) * sin(gamma)/sin(alfa) =>
c^2 = 2*A*sin(gamma) / (sin(beta)*sin(alfa)

Rita upp triangeln och var noga med att se vilken vinkel gamma, alfa, beta representerar, lätt att de blir fel annars.

Nu hade du allt lite bråttom

Nu hade du allt lite bråttom

Ta fram papper och penna.

Du har en linje y=x+1 som du kan rita ut enkelt. Du har en annan linje y=-x+9 som du också kan rita ut. Dom två linjerna bör tillsammans med y-axeln bilda en triangel.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%2B1+%2C+y%3D-x%2B9
Triangeln ser ut att vara åtminstone likbent, kanske också liksidig men det vågar jag inte säga utan att ha räknat. Nu vet jag inte vilken nivå du läser matte på men är det ganska tidigt så kan man nästan förutsätta att den är liksidig och har då vinklarna 60 grader och sedan använder du bara areasatsen.

Eller förresten, du kan dela upp den i två trianglar. Du vet att linjerna skär varandra vid x=4 och y=5. Du får då två rätvinkliga trianglar, en övre och en undre. Räkna ut arean på dessa och addera.

Rita linjerna i en graf. Så här ska det se ut — kontrollera att du kan detta.

Du får en triangel vars "bas" är området mellan linjernas skärningar med y-axeln, och alltså är dess "höjd" x-koordinaten för linjernas skärningspunkt.

Linjernas respektive skärningar med y-axeln får du genom att sätta x = 0 i linjernas ekvationer och se vilka y du får. I detta fall får du enkelt 1 resp 9. Alltså är basen |9 − 1| = 8 enheter lång.

Linjernas skärning med varandra får du genom att lösa ekvationssystemet bestående av de två linjernas ekvationer. Sätt t ex in y = x + 1 i den andra ekvationen, så får du
   x + x + 1 − 9 = 0
   2x = 8
   x = 4

Mellanspel: att lösa detta ekvationssystem innebär att man vill hitta ett variabelpar (x, y) för vilka ekvationerna uppfylls samtidigt. Varje enskild ekvation beskriver den linjens förhållande mellan x- och y-koordinaten, så ett koordinatpar (x, y) där båda ekvationerna uppfylls kommer vara en del av båda linjerna; dvs en skärningspunkt. Att det finns exakt en skärningspunkt kan man direkt se av att linjerna är av första graden och inte parallella, eller så bara ritar man om man inte har sådana samband klara för sig.

Det om det: x-värdet som räknades fram ger nu triangelns "höjd" (eftersom x- och y-axlarna är vinkelräta), vilket tillsammans med basen ger arean enligt triangelns areaformel. Titta på grafen med de båda linjerna inritade för att få överblick över vad som hänt.