Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Theodor Karl Vahlen

Har matte D prov imorgon och har en uppgift som jag har lite svårt att lösa:

När fiskar simmar uppströms i ett vattendrag anpassar de sin hastighet så att energiåtgången blir så lite som möjligt. Om vattnet rinner med hastigheten 4m/s så håller de den hastighet x m/s som minimerar funktionen:
f(x)=x^3/(x-4)
x > 4

Vilken hastighet håller de?

¨Derivera, sök nollställe, kolla ändpunkter i intervallet.

mm kom på det sen..
Tackar:)

Ingen fråga direkt, mera en liten häftig sak som jag hörde på radion.

Ifall man mäter ett snöre som går runt jorden så får man fram att det är X meter långt. Man höjer sedan upp snöret så det hänger fritt precis 1 meter över jorden. Radien blir alltså 2 meter större. Hur mycket längre är snöret?

Ganska häpnadsväckande svar man får...

Jag antar att radien bara ska bli en meter större (diametern däremot...).

(r = jordens radie i meter)
Omkretsen före: 2*Pi*r
Omkretsen efter: 2*Pi*(r+1) = 2*Pi*r + 2*Pi

Det åtgår alltså 2*Pi (~ 6.28 m) mer snöre.

Jepp, diametern menade jag.
Helt rätt, men visst är det lite förvillande? Man tror inte riktigt att det ska skilja så lite.

Let C(n,k) be the number of k-subsets of {1,....,n} in which consecutive elements do not differ by 2 (we assume that the subsets are listed in increasing order). For each k >= 1, prove that

(summa från n = 1 till oändligheten) C(n,k)*x^n = (x/(1-x)^2) * ((x/(1-x)) - x^2))^(k-1)

Jag har svårt att förstå frågan. Vilken betydelse har det att "consecutive elements do not differ by 2"?

Det låter som om han har ett komplicerat sätt att säga att elementen är
1,2,3,4....n-1,n
och inte 1, 3, 5, 9... eller nåt?

Tjo!

Behöver hjälp med följande uppgift:

------------------------------------------------------------------------------------------

En lagerlokal är dimensionerat enligt figuren nedan. Fyra sidor i husgaveln har bestämda mått, men husets bredd x m skall bestämmas så att husgaveln får så stor area som möjligt. Se figur. På så sätt får ju huset så stor volym som möjligt. Önskvärt är ett exakt svar, annars med tre siffrors noggrannhet.

------------------------------------------------------------------------------------------

Tack i förhand!

*edit*
Tackar!
*edit*

Dela upp gaveln i två delar, en rektangulär del och en triangulär. Gavelns area blir då summan av dessa två areor. Teckna denna och derivera, sök nollställen, blah. Arean för triangeln kan man finna med t.ex Herons formel.

Ännu enklare om man går med på att triangelns area ges av A = bh/2, där b = x och h = sqrt(144-x^2)/2.

Jag är rätt säker på att höjden ges av sqrt(36 - x²)

ln X ?

ln |x| t.o.m..

MaB, kört helfast på denna:

Låt f( x) = 6x och g( x)= x^2+5. Förenkla g(f(x )) - f(g( x))

g(f(x)) = f(x)^2 + 5 = (6x)^2 + 5
f(g(x)) = 6*g(x) = 6*(x^2 + 5)
Förenklingen är inte svår.

Ahh, tack!

g(6x) - f(x^2+5) ->
6(x^2+5)-((6x)^2+5) = 6x^2+30-36x^2-5 = -30x^2+25

någon hann före..

Then you better think again. h = sqrt(36 - (x/2)^2) = sqrt(144-x^2)/2

Någon som löst den här ?
Får x~10,392 är det rätt ??

Korrekt.

Du har givetvis rätt. Det blev lite fel där.

Har lite problem med några uppgifter. Vad kan man föra för "kombinatoriska resonemang" för att förstå att C(n,r) + C(n, r+1) = C(n+1,r+1) och att P(n+1,r) = P(n,r) + r*P(n,r-1). Alltså inte att bevisa genom att använda definitionerna, utan att förstå varför man kan finna antal sätt att välja r+1 objekt ur n+1 möjliga genom att lägga ihop antal sätt att välja r+1 objekt ur n med antal sätt att välja r ur n.

"A circle has n points on its circumference. What is the maximum number of points of intersection of chords inside the circle?" Svaret är C(n,4). Det har ju att göra med att man behöver välja ut fyra punkter för att få en "intersection", men jag förstår inte riktigt.

Ett till: 6 människor sitter runt ett bord, och två vänner ska alltid sitta tillsammans. Hur många sätt kan de sitta på?

Om den ene vännen A sitter på en plats, så kan den andra B sitta på två olika positioner, och de andra kan sitta på 4! sätt. Eftersom A kan sitta på 6 ställen så kan de totalt sitta på 6*2*4! = 288 sätt.

Om man ser A och B som en fast enhet, så att det finns 5 enheter så kan de sitta på 5! sätt, men A och B kan alltid byta plats, så totalt antal sätt att sitta på blir 5! * 2 = 240.

Varför får jag två olika svar?

edit: de två olika svaren har något att göra med att det är runt ett bord, så den andra uträkningen stämmer inte av någon anledning.

C(n,r) + C(n, r+1) = C(n+1,r+1)

Du kan nog tänka såhär. Vi ska välja ut r+1 objekt av n+1. Antag först att vi bestämmer oss för att vi Inte vill ha med ett av objekten. Då kan vi välja ur r+1 på C(n, r+1) sätt, eftersom vi valt att inte ha med en. Då måste vi dock lägga till alla sätt som den här "bortvalda" kan vara med på. Hur många sätt kan vi välja ur r+1 objekt ur n+1 om ett måste vara med? Jo vi väljer det objektet å väljer sedan de resterande r objekten bland de n som finns kvar

P(n+1,r) = P(n,r) + r*P(n,r-1)
Du ska välja ut r objekt av n+1, ordningen spelar roll. Då kan du först tänka dej att ett av objekten inte är med. Du får då P(n,r) sätt. Om dock detta objektet är med ska du välja ut r-1 av dom n övriga, dvs P(n, r-1). Bland dessa måste du dock försöka placera in den "utvalda" på alla platser, dvs r.

Att det blir fel i ditt andra resonomang är för att bordet är runt. När du gör permutationen 5! så antar du att du kan dra "ut bordet" så de ser ut som O O O O O O, där O är en plats. Men det kan ju bli som så att A hamnar längst ut till vänster och B längst ut till höger, trots att d sitter bredvid varandra. Om du "lägger till" detta fallet till din uträkninge 5!*2 får du rätt svar (om vi vet att A och B ska sitta i varsin kant kan de övriga personerna blandas på 4! sätt, dessutom kan A och B byta plats och 5!*2 + 2*4! = 288

              >>>>>   v
              01234   v
[START]>     >?????<  >[SLUT]
              56789   ^
              >>>>>   ^

Att använda den där generatorn kommer nog inte att fungera, eftersom läsaren i teorin kan gå fram och tillbaka på frågetecken i oändligheten, vilket leder till att det finns oändligt många olika vägar, med olika sannolikheter att räkna ut.

Men det löser man med att sätta några > i koden;

              > > > > >   v
              0 1 2 3 4   v
[START]>     >?>?>?>?>?<  >[SLUT]
              5 6 7 8 9   ^
              > > > > >   ^

Nu kan inte läsaren gå tillbaka, och antalet vägar begränsas. Och enligt mina beräkningar;

för 0 och 5 = 1/3
för 1 och 6 = (1/3)^2
för 2 och 7 = (1/3)^3
för 3 och 8 = (1/3)^4
för 4 och 9 = ((1/3)^4)/2 eftersom läsaren inte har något annat väl än 4 eller 9.

Alla sannolikheter adderade ger en totalsumma i form av talet ett, en absolut sannolikhet, eller vad det heter på svenska. Det bör fungera

              > > > > >   v
              0 1 2 3 4   v
[START]>     >?>?>?>?>?<  >[SLUT]
              5 6 7 8 9   ^
              > > > > >   ^

Ja, men sannolikheten för att den ska gå fram och tillbaka i oändligheten blir oändligt liten. Man kan räkna med sannolikheter som består av oändliga summor, så det går visst det. Du har ju förenklat problemet väldigt mycket i din lösningsmetod.

Nä, hans originalkod borde fungera minst lika bra (även om den kan ta mer tid än tänkt om man har otur ); att det finns en rundgång gör som roggles säger inget om man vill bestämma sannolikheten för att kedjan kommer att absorberas i en viss siffra då tiden går mot oändligheten.

Sannolikheten för att absorberas i ett visst "talpar", t ex {0,5} (talpar 1), kan uttryckas som ett ekvationssystem där t ex a[1] är sannolikheten att absorberas i ett valt talpar givet att man startar i frågetecken 1 (det längst till vänster). Sannolikheten att hamna i talpar 1 vid start i frågetecken 1 uttycks t ex då som:
a[1] = 0.5 + 0.25a[1] + 0.25a[2]
a[2] = 0.25a[1] + 0.25a[3]
a[3] = 0.25a[2] + 0.25a[4]
a[4] = 0.25a[3] + 0.25a[5]
a[5] = 0.25a[4] + 0.25a[5]

Jag knappade in det i matlab i vilket fall och fick för talparen:

(vid start i frågetecken 1)

0,5: 0.7321
1,6: 0.1962
2,7: 0.0526
3,8: 0.0144
4,9: 0.0048

Dela på två för att få sannolikheten för en specifik siffra.

Jag skulle helst gärna vilja se dina lösningsmetoder ägget.

Här är min teori
För 0 och 5 blir det 1/3, men det blir mycket mycket krångligare att bestämma för resten.

från ? vid 0 och 5 måste den hamna, därifrån kan den gå direkt till 0, 1/4 dels chans, sedan kan den försöka gå tillbaka och hamna där igen, vilket ger 1/4^2
eller försöka gå tillbaka två gånger som ger 1/4^3 o.s.v.
Så chansen för 0 och fem blir ju enkel att beskriva med
Sum, k=1, n=inf, (1/4)^k = 1/3

MEN det blir desto krångligare
Med två steg kan de nå 1 eller 6 på ett sätt. Men med 3 steg så blir det 2 olika sätt. och med 4 steg blir det 3 möjliga steg. 5 ger 4 möjliga steg. uhm, ok. så det kanske inte var så krångligt som jag trott för den andra
Orkar inte bevisa det men det ser då verkligen ut som att det ökar med en möjlig kombination vid ett steg i k
Steg(k) = k-1

Så för 1 och 6 får vi
Sum, k=2, n=inf, (k-1)*(1/4)^k = 1/9

Stämmer bra än så länge

Men nu börjar det krångla till att finna funktionen Steg(k)
börjar med att räkna lite
Steg(3)=1
Steg(4)=3
Steg(5)=6
Steg(6)=9
ok så detta verkar inte vara lika praktiskt som en funktion. Får nog göra ett extra fall av första trean där, med Steg(k) = 3*(k-3)

Uhm.. mycket möjligt att jag gjort något knepigt nu men detta får jag iaf för 2 och 7

(1/4)^3 + Sum, k=4, n=inf, (1/4)^k = 7/192

Vilket är lite mindre än vad du fick ägget.

För resten av dessa blir detta ännu krångligare men jag är ganska säker på att alla värden är möjliga att beskriva som

Sum, k=1, n=inf, Steg_a(k)*(1/4)^k = 7/192

Skrivkramp jag tror du missat några viktiga saker. Antalet möjliga kombinationer som hamnar på siffran 0 eller 5 (etc.) har ytterst stor påverkan, vilket gör att de två olika programmen kommer ha en klar skillnad i sannolikhet för alla siffror. Min lösning till det tidigare problemet är fortfarande helt giltligt i detta.
Det enda som kommer skilja är funktionen Steg(k) som ger anltalet möjliga kombinationer som hamnar på siffran i fråga, som är MYCKET enklare att beskriva matematiskt i detta omgjorda program.

Micket: Jag lovar att det jag gjorde gav ett riktigt svar.