Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

För att en funktion f(x)=kx+m ska vara linjär, måste m=0 ty för en linjär funktion gäller att
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(kx)=kf(x)

För att f(x+y)=f(x)+f(y) ska stämma, måste (x+y)k+m=xk+m+yk+m <=> m=2m => m=0.

Beskåda
http://mathworld.wolfram.com/LinearFunction.html

Det var ju visserligen en ganska bra källa du hänvisade till där,

men för att ta ett exempel:

f(x) = x+1;

f är då synnerligen linjär iaf när jag målar upp den utan att för den skull uppfylla f(a+b) = f(a) + f(b)

(ex. f(0+2) = 3, f(0) + f(2) = 1+3 = 4)

Missta aldrig begreppet linjär funktion med att dess graf är en rät linje.

Jag har läxa till nästa vecka att kunna förklara grafer(fick just reda på detta). Skulle någon vänlig själ kunna hjälpa mig lite?

För att förtydliga lite:

Anta funktionen F: R ->R. a,b,k ligger i R.
F är homogen om F(k*a) = k*F(a)
F är additiv om F(a+b) = F(a) + F(b)
F är linjär om den är både homogen och additiv.

Definitionen kan utökas till andra dimensioner men det ser jag som onödigt att skriva ner här.

För mer intressant information:
http://www.mai.liu.se/~pehac/titta/kossaboken/
Tidigare kurslitteratur på LiTH i Linjär Algebra, nu gratis på nätet. Klart värd en läsning.

Av detta drar jag slutsatsen att tex
y = 2x+1
inte är en linjär funktion enligt era definitioner, rätt eller fel?

Dock tycker jag att det är otydligt och flera gånger säger ni emot er själva, tex

sedan säger magnifique í samma inlägg

Detta säger ju emot det första han sa, dvs m måste vara 0 enligt det sista och enligt det första får m eR

Anta f(x) = 2*x + 1.

f(1) = 3
f(2) = 5

Kontroll om f är additiv, d.v.s. om f(1+2) = f(1) + f(2)
f(1+2) = f(3) = 7
f(1) + f(2) = 8.
f är ej additiv och är således inte heller linjär.

Vi kollar dock om den är homogen ändå, d.v.s. om t.ex. 5 * f(2) = f(5*2)
5 * f(2) = 25
f(5*2) = f(10) = 21
f är ej homogen.

Ritar man upp grafen ser man att det är en linje. Att grafen blir en linje är dock inte ett tillräckligt krav för att funktionen ska vara linjär. Att funktionen är linjär är däremot ett tillräckligt krav för att det ska bli en linje. Dessa är det lätt att förvirra ihop.

Anta f(x) = 5*x

f(1) = 5
f(2) = 10

f(1+2) = 15
f(1) + f(2) = 15
f är således additiv.

6 * f(2) = 60
f(6*2) = 60.
f är således även homogen och därav linjär.

Den vakne läsaren konstaterar nu att i y = k*x + m är det ett krav att m = 0 för att y ska vara linjär.

Edit: För att minska ner lite på röran som blir när det är många som svarar kan jag inflika att min text kan ses som ett exempel till damme:s kommentarer som är helt korrekta.

f(x) = kx + m är en affin avbildning i en dimension.
En affin avbildning kan beskrivas som en linjär avbildning plus en translation.

http://mathworld.wolfram.com/AffineTransformation.html

Så här skulle jag angripa uppgifterna:
A: a och b kan ju byta plats: f(a) + b = a + f(b)
Hur ser det ut i fallet b=0? Slutsats?

B: Byt plats på a och b: f(a) - f(b) = f(b) - f(a)
Slutsats?

C: a och b byter plats (kan man urskilja ett mönster...): f(a)*b = a*f(b)
Vad händer med b=1? Slutsats?

D: b=0 ger att f(0)=1 eller f(x)=0 (alla x)
I övrigt kan man nog inte säga så mkt. Exponentialfunktioner uppfyller detta, men man kan konstruera fruktansvärt stökiga funktioner som också uppfyller villkoret. Lägger man på något regularitetskrav, t.ex. kontinuitet, blir dock endast exponentialfunktionerna kvar. Men att visa dessa saker är inte så lätt.

Vilket år läser man det där? Fattade inte ett jotta trots att jag är bra på matte.

En rektangel har två hörn på x-axeln och två hörn på kurvan y=3x-x^2 i första kvadranten. Bestäm det största värde som rektangelna kan anta.
Jag var inne på att utnyttja kurvans symmetrilinje, x=2,5 för att förskjuta kurvan 2,5 steg till vänster så att uttrycket för rektangelns area borde bli x(3(x-2,5)-(x-2,5))

Symmetrilinjen är x=3/2, vilket man kan se t.ex. genom att kvadratkomplettera. Kurvan i första kvadranten då x är i intervallet [0,3].
Om ett hörn är i (x,3x-x^2) måste ett hörn också vara i (3-x,3x-x^2), pga symmetrin.
Här är det är ingen restriktion att hålla x i intervallet [0,3/2] (symmetri!).
Således är det uttrycket (3-x-x)*(3x-x^2) som ska maximeras då x är i intervallet [0,3/2].

Sitter här med ett gammalt nationellt prov i matte D. En av uppgifterna lyder " Bestäm den primitiva funktion y = F(x) till funktionen f(x) = 8x^3 - 2x för vilken F(2) = 4

Jag börjar vanligt med att bestämma en primitiv funktion som ser ut: F(x) = 2x^4 - x^2 + C <----

F(2) = 2*2^4 - 2^2 + C = 4
C = -24. Tittar i facit och lutar mig belåtet bakåt i stolen efter att ha noterat att svaret var rätt.

Men om vi nu går tillbaka och tittar där pilen pekar. Vad är det som säger att jag inte kan bestämma den primitiva funktionen till att vara F(x) = 2x^4 - x^2 - C (negativt C). Derivatan av minus C är ju också 0

Om jag löser uppgiften med samma metod så får jag nu C = +24 istället. Var har jag gjort fel?

Inget fel. Det blir ju samma funktion.

Ah, nu inser jag, +(-) blir ju -

Går det att algebraiskt lösa 2*Cos(x) = x

Nej.

Detta kanske är lite offtopic, samt att det kanske finns något liknande tidigare i tråden (orkar inte läsa igenom 83 sidor), men vad jag undrar är om det finns någon tabell-/formelsamling på internet (gärna nedladdningsbar), som liknar den man har på gymnasiet (Tabeller och formler för NV-programmet). När jag söker runt hittar man flera formelsamlingar, som dock bara gäller vissa universitetskurser. Jag skulle m.a.o. gärna hitta en "komplett".

En bil körs i hastigheten 10 m/s då man slutar ge gas. Bilens retardation är därefter 1/10 av bilens hastighet (siffervärdet). Hur långt åker bilen innan den stannar?

Bilen kommer ju aldrig att stanna, men bilens avlagda sträcka kommer ju konvergera ett visst värde.

dy/dt = -0,1y <=> dy/dt + 0,1y = 0 ger y = C*e^(-0.1t)
y(0) = 10 ger C = 10, y = 10e^(-0,1t)

Sen vet jag inte riktigt hur man ska göra. Man kan ju ta fram den primitiva funktionen till y, men det hjälper väll inte så mycket?

Edit: Kom kanske på det själv
f(t) = y <=> F'(t) = y
Det går ju att beräkna integralen för y från 0 till onändligheten då F(onändlighet) = 0.

Integral[0->oändlighet] y*dx = -100[e^(-0,1t)][0->oändlighet] = -100(0-1) = 100

Svar: 100 m
Har jag tänkt rätt?

Någon som kan alt+sifferkombinationen för oändlighetstecknet?

Fråga 1:
Familjen Svensson ska flyga till Colombo. Deras flygbiljetter kostar 6305kr. Jakob som är 17år får 25% rabatt och Linda som är 8år får 50% rabatt. Hur mycket kostar EN flygbiljett för en förälder?

(Ja jag vet att jag är dummare än tåget )

Fråga 2: Byn Dompe har 2500 invånare och antalet invånare ökar med 125 personer per år. Byn urapola har 5300 invånare och antalet minskar med 75 personer per år. Efter hur många år kommer de båda byarna ha samma antal invånare. ?

1. En vuxenbiljett kostar x kr, barnens biljetter kostar då 0,75x resp 0,5x. Detta ger oss ekvationen:
2x + 0,75x + 0,5x = 6305

2. Samhällena har samma antal invånare efter x år.
2500 + 125x = 5300 - 75x

Förstår den första bra dock den andra råder det lite oklarheter kring.. Inte hållt på med ekvationer så länge i skolan

Hur beräknar man arean av det skuggade området?

Kvadraten har sidan 10 le. Kvartscirklarna inuti kvadraten har radien 10 le med centrum i kvadratens hörn.

Byn Dompe har 2500 invånare år noll. Varje år därefter ökar invånarantalet med 125 personer. Efter x år finns således 2500 + 125*x invånare i byn.
Motsvarande gäller för byn urapola med skillnaden att invånarantalet där istället minskar med 75 personer per år.

Ursäkta om jag är trög, men jag ser inte vad det gör för nytta att byta plats på a och b? Hur ska jag angripa problemet? Ska jag sätta upp en funktion och föra in a och b eller ska jag försöka rita en funktion på ett papper? Tack för hjälpen annars

Förklara mer.. Är en väldigt viktig uppgift det här Förlåt min otroliga tröghet

Det där är väll inte nationella provet vi har imorron?